د نامحدود بېلېدونکې. د نامحدود integrals سولگر

د، د محاسبوي تحلیل اساسي برخو يو نه بېلېدونکې کلکولس ده. دا پوښښ د شيانو، چې د لومړي ډېره پراخه ساحه کې - دا د نامحدود بېلېدونکې. وظیفه دا ده په توګه يو مهم چی لا هم په لوړ ښوونځي یو د فرصتونه او فرصتونو د زیاتولو شمېر، چې د لوړو ریاضیاتو تشريح په ډاګه کوي.

بڼه

په لومړي نظر، دا سرکښان عصري، دثبت بېلېدونکې ښکاري، خو په عمل کې دا وګرځي چې هغه بېرته په 1800 راغلل ميلاد. کور ته په رسمي ډول د مصر توګه په پام کې نه موږ ته د دې د شتون په سر د شواهدو ته ورسيږي. دا له امله د معلوماتو د نه شتون، د ټولو په داسې حال کې چې د یوه پدیده ساده ځای. هغه یو ځل بیا د هغو وختونو د خلکو د علمي پرمختګ د کچې خبره تاييد کړه. په پای کې، د کارونو موندل شوي لرغوني یونان د رياضي، پکې 4th پېړۍ له ميلاد څخه کولې. دوی میتود کارول کیږي چې د نامحدود بېلېدونکې، د کوم اصل دا وه چې د حجم او يا په سيمه کې د يو curvilinear بڼه (دری بعدي او دوه بعدي الوتکه، په ترتیب سره) پیدا تشریح. محاسبه شو د په infinitesimal برخې د اصلي شکل فرقې د اصل پر بنسټ، په دې شرط چې د حجم (ساحه) لا د مخه په نامه هغوی ته. د وخت په تيريدو، د طريقه کرل، Archimedes کارول دا د يو parabola په سيمه کې پيدا کړي. په ورته وخت کې ورته محاسبه په لرغوني چين، چې دوی د یونان د خپلو علومو څخه په بشپړه توګه خپلواکه تمرينات ترسره کوي.

پرمختګ

په يوولسم پېړۍ له ميلاد څخه بل پرمختګ د عربي عالم د کار شي "واګون" ابو علي البصری، چې د پولو په ټيل وهل د پخوا په نامه، د اندازه او د درجو د لومړي ځل لپاره د څلورم څخه د مبلغ محاسبه، د دې مشهور موږ ته درخواست د بېلېدونکې فورمول څخه مشتق شوي دي ټرننګ طريقه.
د نن ورځې ذهنونه قدر له خوا د لرغونو مصریانو په هر ځانګړو وسيلو پرته د حیرانونکې اثارو جوړ، په استثنا د په خپل لاس چې، خو د ده د وخت لږ نه يو معجزه د واک په غوسه پوهانو نه ده؟ سره د خپل ژوند د اوسني وختونو په پرتله ښکاري تقریبا ابتدايي، خو په هرځای کې د نامحدود integrals د پریکړې سره لیرې او د لا پرمختګ لپاره په عمل کې کارول.

د راتلونکي ګام په شانزدهم پیړۍ رامنځته شوه، کله چې د ایټالیا د ریاضي Cavalieri تړلي طريقه، چې د دغه کميسون کې راوړل Per فرما. دغه دوه شخصیت لپاره د عصري بېلېدونکې کلکولس، چې په شېبه ده مشهور بنسټ کېښود. هغوی د توپیر او د یووالي د مفاهیمو، چې پخوا په توګه ځان شامل واحدونو ليدلي وتړل. By او لوی، د هغه وخت د ریاضیاتو پاشل شوي ذرات د موندنو له خوا د ځان شتون، سره د محدود استعمال و. لار موټی او عام ځمکه پیدا په شېبه يوازې سمه وه، د هغه مننه، د عصري رياضي تحلیل فرصت وده او پرمختګ درلود.

د وخت په تیریدلو سره هر څه او نه بېلېدونکې سمبول په توګه او همدارنګه د بدلون. By او لوی، دا وه چې د ساینس پوهانو په خپل لاره، د مثال په توګه، د نیوټن یوه مربع انځورن، چې د integrable دنده کړي، یا په ساده ډول سره یوځای کارول شوی. دا توپیر تر پاڼې پیړۍ، کله لپاره، د محاسبوي تحلیل ساینس Gotfrid Leybnits ټوله تيوري د يوې مهمې پیښې له داسې ځانګړتياوو څخه موږ ته اشنا معرفي دوام وکړ. Elongated "S" په حقيقت کې د دې لیک پر بنسټ د روم د الفبا په، ځکه د primitives مجموعه عمومأ. د بېلېدونکې نوم Jakob Bernoulli مننه تر لاسه، د 15 کلونو وروسته.

د رسمي تعریف

د نامحدود بېلېدونکې د ابتدايي تعریف پورې تړاو لري، له دې امله موږ په لومړي ځای په پام کې.

Antiderivative - ده د اشتقاقونه inverse دنده، په عمل کې دا ابتدايي غوښتنه وکړه. که نه نو: د D ابتدايي دنده - یو دنده D، چې دا په اشتقاقونه v <=> V '= v. د لټون ابتدايي ده چې د نامحدود بېلېدونکې محاسبه، او د دغه بهیر په خپله دی د یووالي غږ وکړ.

بیلګې په توګه:

د فعالیت د (y) = y ^3، او خپل ابتدايي S د (y) = (y ^4/4).

د دنده د ټولو primitives ټولګه - دا يو کيدلو نه بېلېدونکې، denoted دا په لاندې ډول: ∫v (x) د DX.

د دې حقیقت چې د V (x) د فضيلت - يوازې د ځينو ابتدايي اصلي دنده، د بيان کوي: ∫v (x) د DX = (x) د V + C، چې د C - پرله پسې. د خپل سری ثابت کوم ثابت ته اشاره کوي، ځکه د خپلو اشتقاقونه صفر ده.

ځانتياوې

د Properties درلودل له خوا د نامحدود بېلېدونکې، اساسا په تعريف او د مشتقاتو مال پر بنسټ.
په پام کې د اساسي ټکي:

• د ابتدايي بېلېدونکې اشتقاقونه ده ابتدايي پخپله جمع یو خپل سری ثابت C <=> ∫V '(x) د DX = (x) د + C V؛
• د یوه دنده د بېلېدونکې اشتقاقونه ده د اصلي دنده <=> (∫v (x) د DX) '= V (x)؛
• پرله پسې څخه کيدونکې ننوتنه یا ساین اېن <=> ∫kv (x) د لاندې ونیول بهر DX = k∫v (x) د DX، چې د K - ده خپل سر؛
• بېلېدونکې، چې د identically مساوي مجموعه څخه د integrals مجموعه <=> ∫ (v (y) + W (y)) وګورو = ∫v (y) وګورو + ∫w (y) وګورو دي.

د تېرو دوو مال کولای شي چې د کيدلو لپاره بشپړوونکی دا دی خطي. له همدې امله، موږ ولري: ∫ (kV (y) وګورو + ∫ lw (y)) وګورو = k∫v (y) وګورو + l∫w (y) وګورو.

د حل کيدلو integrals رغاونه مثالونه وګورئ.

تاسو باید د بېلېدونکې ∫ (3sinx + 4cosx) DX کړو:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + ت

د مثال په توګه موږ کولای شو په پای کې چې تاسو نه پوهېږم چې څنګه د نامحدود integrals اوارولی شي؟ يوازې ټول primitives کړو! خو د اصولو د لټون بحث لاندې.

میتودونه او مثالونه

د دې لپاره چې د کيدونکې حل تاسو، کولای شي د لاندې لارو څخه د تعذیب:

• چمتو د جدول څخه ګټه واخلي؛
• برخو له خوا د ادغام؛
• مدغم له خوا د متحول مثنی؛
• د differential نښه لاندې summing کړي.

جدولونو

تر ټولو ساده او د آرامي لاره. اوس مهال، د رياضي تحلیل کولای شي خورا پراخه جدولونه، چې د نامحدود integrals اساسي فورمول شويدی، اوښان جوړوي. په بل عبارت، کينډۍ تاسو ته مشتق شته او تاسو کولای شي یوازې د هغوی څخه ګټه پورته کړي. دلته د اصلي جدول پوستونو، چې کولای شي هره بېلګې په توګه نندارې ته شي په لست کې دی، یو د حل لاره:

• ∫0dy = c، چې د C - پرله پسې؛
• ∫dy = y + C، چې د C - پرله پسې؛
• ∫y ^N وګورو = (y ^{N + 1)} / (N + 1) + C، چې د C - يو ثابت، او د n - له شمېر څخه يووالي مختلفو؛
• ∫ (1 / y) وګورو = ln | y | + C، چې د C - پرله پسې؛
• ^{∫e y وګورو = e y + C} ، چې د C - پرله پسې؛
• ^{∫k y وګورو = (K y /} ln K) + C، چې د C - پرله پسې؛
• ∫cosydy = siny + C، چې د C - پرله پسې؛
• ∫sinydy = -cosy + C، چې د C - پرله پسې؛
• ∫dy / هيوادنيو ² y = tgy + C، چې د C - پرله پسې؛
• ∫dy / ګناه ² y = -ctgy + C، چې د C - پرله پسې؛
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C، چې د C - پرله پسې؛
• ∫chydy = شرمندوکه + C، چې د C - پرله پسې؛
• ∫shydy = chy + C، چې د C - پرله پسې.

که اړتيا وي، تر څو په جدولي محتویات لپاره د ګامونو په يو څو سبب integrand او د بریا خوند. بیلګې په توګه: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) D (5x - 2) = 1/5 x ګناه (5x - 2) + ت

د پریکړې په اساس دا څرګنده ده چې د مثال په توګه د يو جدول integrand ګوني 5. موږ په موازي توګه دا له خوا 1/5 سره د دغه ضرب کړئ د جنرال بيان يې بدلون نه لري.

له خوا برخي سره یوځای کیدل

z (y) او د x (y) - دوه دندو په پام کې. دوی باید په دوامداره توګه خپل شپول differentiable وي. په یو توپیر مال موږ ولري: D (xz) = xdz + zdx. دواړو خواوو توحيد، موږ تر لاسه: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

- ∫xdz ∫zdx = zx: د په پایله معادله لیکنې سره، موږ د فورمول، چې د برخو له خوا د ادغام ميتود تشريح شي.

دا ولي ضروري ده؟ دا حقيقت چې د مثالونو دا ممکنه ته ساده دی ځینې، راځئ چې وايي، د ∫zdx ∫xdz کم کړي، که د وروستنۍ ده چې د جدولي فورمه نږدې. هم، چې دا فورمول کولای شي په پرتله یو ځل بیا کارول، د مطلوبو پایلو.

څنګه کيدلو integrals د حل لپاره دې لاره:

• ته ∫ (ص + 1) e ^2s DS محاسبه ضروري

∫ (x + ^{1) e 2s DS = {z =} s + 1، dz = DS، y = 1 ^{/ 2e 2s، وګورو = e 2x} DS} = ((ص + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s DX = ((ص + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C؛

• باید ∫lnsds محاسبه

∫lnsds = {z = lns، dz = DS / s، y = S، وګورو = DS} = slns - ∫s x DS / s = slns - ∫ds = slns ته -S + C = د (lns-1) + C.

د متحول بدلول

د نامحدود integrals حل دغه اصل دي په پرتله په تیرو دوو تقاضا لږ نه، که څه هم پېچلې. دغه طريقه په لاندې ډول ده: راځئ V (x) د - د ځينو دنده V (x) د بېلېدونکې. په هغه صورت کې چې په خپل ذات کې د مثال slozhnosochinenny بېلېدونکې راځي، احتمال لري وارخطا ترلاسه او لاړ شو په غلط لاره د حل لارې. د متحول x له دې عمل لپاره مرستندوی بدلون، په کوم کې چې د عمومي بيان د بصري داسې حال کې چې د الف په کتو x د ساتلو ساده ډډه وکړي.

په رياضي له پلوه، دا په لاندې ډول ده: ∫v (x) د DX = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x))، چې د x = y ( z) - د عوض. او، البته، د inverse دنده z = y ^-1 (x) په بشپړه توګه د اړیکو او د متحولونه د اړیکو تشريح کوي. مهم نوټ - د differential DX حتمي سره د یوه نوي differential dz بدل، په کيدلو نه بېلېدونکې د متحول بدلون راهيسې شامل دي په هرځای کې ځای، چې نه يواځې په integrand دا.

بیلګې په توګه:

• DS - باید ∫ (ص + 1) / (5 د ² + 2s) پیدا

د بدلولو سره z = (S + 1) Apply / (ص ² + 2s-5). بيا dz = 2sds = 2 + 2 (ص + 1) DS <=> (ص + 1) DS = dz / 2. په پایله کې، د لاندې بیان دی چې ډیر آسانی سره شمیرلی شو:

∫ (ص + 1) / (ص ² + 2s-5) DS = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | د ² + 2s-5 | + C؛

• تاسو باید د بېلېدونکې ∫2 ^د پست ^د DX پیدا

ددې لپاره چې په لاندې بڼه د کیی حل کړي:

^{∫2 د پست د DS = ∫ (} 2e) د DS.

موږ يو = 2e له خوا کښلی (د استدلال دا ګام نه دی ځای ناستی، دا اوس هم ص) موږ ته زموږ د ښئي اساسي جدولي فورمه پېچلې نه بېلېدونکې:

^{∫ (2e) د DS = ∫a} د DS = یو s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^د پست ^د / ln (2 + lne) + C = 2 ^د پست ^د / (ln2 + 1) + ت

یو differential ننوتنه یا ساین اېن Summing پورې

By او لوی، د نامحدود integrals د دغه ميتود - د د د متحول بدلون د اصل په دوه ورور، خو د نوم ليکنې د بهير توپير شتون لري. راځئ چې په تفصیل سره په پام کې.

که ∫v (x) د DX = (x) د + د C او د y = z (x)، بيا ∫v (y) وګورو = V (y) + ت V

په عين وخت کې موږ باید د کوچني بېلېدونکې بدلونه ته، په منځ کې چې هېر نه:

• DX = d (x + يو)، او پکې - هر پرله پسې؛
• DX = (1 / A) D (تبر + ب)، چې يو - پرله پسې ځل بیا، خو د صفر نه؛
• xdx = 1 / 2d (x ² ب +)؛
• sinxdx = -d (cosx)؛
• cosxdx = d (sinx).

که موږ په عمومي صورت کې چې مونږ د نامحدود بېلېدونکې محاسبه په پام، مثالونه کولای شی W '(x) د DX = DW (x) د عمومي فورمول په پيروۍ شي.

مثالونه:

• باید پیدا ∫ (2s + 3) ² DS، DS = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C؛

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + ت

انلین مرسته

په ځینو مواردو کې، چې د ګناه کولای شي او يا سستۍ، او یا د یو عاجل ضرورت، تاسو کولی شئ د آنلاین هڅی وکاروي، او یا پر ځای، چې د نامحدود integrals یو شمېرګر وکاروي. د څرګند پیچلتیا او د integrals پاروونکی ماهیت سره سره، د پرېکړه دا ده چې د خپلو ځانګړو الګوریتم، چې د "که تاسو نه ... نو ..." د اصل پر بنسټ تابع دي.

البته، د داسې يو شمېرګر په ځانګړې توګه ګلان د بېلګې به تسلط نه، لکه مواردو کې چې د يوه پرېکړه د يو مصنوعي له خوا په دې بهير کې د ځينو عناصرو معرفي "اړ" د موندلو لري شته دي، ځکه د پایلو څرګنده لارې ته د رسېدو دي. د دې خبرپاڼه کې پاروونکی ماهیت سره سره، دا سمه ده، چې د رياضي، په اصل کې، د یو انتزاعي ساينس، او د هغې د لومړني هدف په پام کې د اړتیا د پولو د پیاوړتیا. په حقیقت کې د یو آرام د دوهم په نظريو ته حرکت او بدلون مومی، نو نه په غاړه واخلي چې د نامحدود integrals د حل د بېلګې، چې موږ ته ورکړه ډېره سخته ده - دا د فرصتونو د لوړوالی دی. خو بېرته د شيانو د تخنیکي اړخ. لږ تر لږه د محاسبې وګورئ، تاسو کولی شئ په خدمت کې چې دا موږ ته لیکل وکاروي. که د پیچلو څرګندونې اتومات محاسبه ته اړتیا، نو نه ولري څو د زیات جدي سافټ مخه کوي. بايد په عمده توګه پر چاپېريال مطلب پاملرنه وکړي.

غوښتنلیک

د په لومړي نظر کيدلو integrals پرېکړې له حقیقت په بشپړه توګه وتلې دې ښکاري، ځکه چې دا ستونزمنه ده چې د الوتکې څرګنده استعمال وګورئ. په حقيقت کې، په مستقيمه توګه د هغوی په هر کار وانخلی، تاسو نه شي، خو هغوی دي د حل لارې په عمل کې کارول وتلو بهير يوه اړينه منځني عنصر دی. ځکه نو، د بېرته توپیر د یووالي، نو په فعاله توګه د معادلو د حل په پروسه کې ګډون.
په خپل وار سره، د دغو معادلو لري د میخانیکي ستونزو، د مسیر محاسبه او حرارتي conductivity د پریکړې باندې مستقيمې اغيزې لري - په لنډ، هر هغه څه چې د اوسني او د سامل راتلونکي جوړوي. ټولوالی بېلېدونکې، مثالونه چې موږ په پام کې پورته، یوازې په لومړي نظر په کوچني، مرکز په توګه د زيات نوي کشفيات کړي.